只要澳门新葡亰网址下载其相似系数不等于1

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文章关键词:澳门新葡亰所有网址,相似变换

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  镜像相似(mirror image similar)亦称逆相似或异向相似,是一种特殊相似形。一个平面到自身的变换,如果对于任意两点A,B,以及对应点A,B,总有AB=k

  AB(k为正实数),那么,这个变换叫做相似变换,实数k叫做相似比,相似比为k的相似变换常记为H(k),显然,当k=1时,H(1)就是合同变换。在相似变换下,点A变为点A,图形F变为图形F,此时,称F,F是相似图形,记为F∽F。与合同图形类似,如果在两个相似图形上,每两个对应三角形沿周界环绕方向相同,则称这两个图形真正相似;如果对应三角形沿周界环绕方向相反,那么称这两个图形镜像相似

  镜像相似是一种特殊相似形,设图形F与F′是相似形,在图形F上任取不共线的三点A,B,C,它们在图形F′上的对应点分别是A′,B′,C′(如图1),若△ABC与△A′B′C′的方向相反,例如,沿周界ABCA的环绕方向与沿周界A′B′C′A′的环绕方向一个为逆时针方向,而另一个为顺时针方向,则称图形F与图形F′

  。镜像相似图形的重要特例是镜像相似三角形。设△ABC与△A′B′C′相似,且沿周界ABCA及A′B′C′A′环绕方向相反,若一个为逆时针方向,另一个为顺时针方向,则这两个三角形是镜像相似三角形

  设T(O, k, l)(k≠1)是平面π的一个位似轴反射变换,A是平面π上不在其反射轴上的任一点,且

  证明: 因位似轴反射变换是轴反射变换与位似变换之积,轴反射变换是镜像合同变换(当然也是镜像相似变换),位似变换是真正相似变换,而镜像相似变换与真正相似变换之积是镜像相似变换,故位似轴反射变换是镜像相似变换。

  位似轴反射变换尽管是两个已知变换——轴反射变换与位似变换的乘积,但它有一个不动点——位似轴反射中心,更重要的是有下面的定理。

  由于位似中心是位似轴反射变换(只要位似系数不等于1)的唯一的不动点,因而由定理3即知,相似系数不等于1的镜像相似变换必有唯一的不动点。

  如果平面π上的两个图形F与F镜像相似,且相似系数不等于1,则由定理3,存在平面π的一个位似轴反射变换T(O, k, l),使得

  ,这时,位似中心O称为图形F与F的逆相似中心,而反射轴(内、外两条)则称为图形F与F的相似轴。

  只有镜像相似图形(相似比不等于1)才有相似轴,顺相似中心与逆相似中心统称为相似中心。

  对于平面上的两个相似图形,只要其相似系数不等于1,它们就有一个相似中心。

  当两个图形镜像相似(相似比不等于1)时,如何作出其相似轴和相似中心?实际上,定理1已经告诉了我们作法,

  如图2所示,设A、B两点在位似轴反射变换T(O,k, l)下的像点分别为A、B,以相似比k分别内分和外分线;B,则两个内分点M、N的连线及两个外分点P、Q的连线即为两条相似轴,而两相似轴的交点O即为相似中心。

  【例1】设△ABC与△ABC镜像相似,相似比不等于1,以相似比为分比内分线;C于D、E、F;再以相似比为分比外分线;C于P、Q、R。求证: D、E、F 三点与P、Q、R三点分别共线,且这两条直线互相垂直。

  如图3所示,因△ABC与△ABC镜像相似,且相似比不等于1,所以,它们有两条互相垂直的相似轴。由定理知,D、E、F与P、Q、R分别位于两条相似轴上,故结论成立。

  【例2】设△ABC与△ABC真正相似,相似比为k,以k为分比分别内分线;A、BA、AB于点I、J、K、L、M、N,则IJ、KL、MN三线;分别是△ABC和OABC的外心,则△BOC与△COB是镜像相似的。以k为分比内分线;O于P,则由上题知,I、P、J三点是共线的,即IJ通过点P,同理,KL、MN皆通过点P,澳门新葡亰网址下载故IJ、KL、MN三线]

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