澳门新葡亰网址下载自从古典集合论出现悖论以后

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  第2 6 卷第6 期2 0 0 6 年12 月 J叫111a lo fN a n jin gu n iv e r sityo fP o sts a n dT eleco m m u n ica tio n s( N a tu ra l S cien ce)南京邮电大学学报( 自 然科学版)V 0 1. 26N o . 6D e c . 2 0 D 6文章编号: 1673- 5439( 2006)06舶36J04关于无穷集合概念的不相容性问题的研究朱梧掼1’ 2, 肖奚安3, 杜国平1” , 宫宁生4, , 1. 南京航空航天大学计算机科学研究所, 江苏南京210 0 16 、I 2. 南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所。 江苏南京210 0 9 33. 中国人民解放军理工大学理学院, 江苏南京210 0 16\4 . 南京工业大学信息科学与工程学院, 江苏南京210009/摘要: 文中证明古典集合论与近代公理集合论中的任何一个无穷集合都是自相矛盾的非集。关键词: 古典集合论; 近代公理集合论; 可数无穷集合; 不可数无穷集合中图分类号: 0 14 4...

  第2 6 卷第6 期2 0 0 6 年12 月 J叫111a lo fN a n jin gu n iv e r sityo fP o sts a n dT eleco m m u n ica tio n s( N a tu ra l S cien ce)南京邮电大学学报( 自 然科学版)V 0 1. 26N o . 6D e c . 2 0 D 6文章编号: 1673- 5439( 2006)06舶36J04关于无穷集合概念的不相容性问题的研究朱梧掼1 2, 肖奚安3, 杜国平1” , 宫宁生4, , 1. 南京航空航天大学计算机科学研究所, 江苏南京210 0 16 、I 2. 南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所。 江苏南京210 0 9 33. 中国人民解放军理工大学理学院, 江苏南京210 0 16\4 . 南京工业大学信息科学与工程学院, 江苏南京210009/摘要: 文中证明古典集合论与近代公理集合论中的任何一个无穷集合都是自相矛盾的非集。关键词: 古典集合论; 近代公理集合论; 可数无穷集合; 不可数无穷集合中图分类号: 0 14 4文献标识码: AT h eIn c o n siste n c y0 fth eC o n c e p t0 f IIlf iIIite S e ts删w u_ jial” , x蛤ox i- 柚3, D uG u o - p in 9 1” , G o N GN ing . sh en矿I2. In 出tu te0fM 0d L 硒cditsA p p u ca tio n , N 咧in g u nivily, N 蛐jing 210 0 9 3, c llin a3. c o u e g e0fS c ie n c e , P L Au n iV ersityo fscieⅡ ce a n dT ech n o lo 盯, N a n jin g 210 0 16 , c h in a, , 1. In8tituteo f C o m p u te rscier啪, N 画ingU lliv ersity0fA e瑚鲫石cs锄dA st瑚autics, N 柚jin9210016, C hina、、\4. coH 弓g e0 fI血)m 18tio n scien ce锄dE n g in eerin g , N a n jin gu niversiIyofhnolog y, N anjing 210009, ch in a /A b str a c t: Int}lisp 印er, w e p r o V eth a t tllere is a nin c o n siste n c yina n yin n n ite se t o f th e cla ssica lse tth e o r yo rth e m o d e m a X io m a tie se tth eo ry .K e yw o r d s: C la ssic a l se tm e o r y ; M o d e ma )【io m a tic se tth e o r y ; E n u m e r a b lein 矗n itese t; U n c o u n ta b lein 6 n ite se t1一点说明和一组简记符号一点说明: 大家知道, 若将全体自然数构成的集合Ⅳ= { 戈ln ( 菇)}( 其中n ( 戈)= d , “戈为自然数” )中的自然数按照由小到大的顺序排成自然数序列:A : { 1,澳门新葡亰网址下载 2, 3, , n, }l则A 序列的序数记为。 Ⅳ= { 戈ln ( 戈)}的阿力夫势Ⅳ= K 。 是唯一确定的, 而Ⅳ= { 戈ln ( 戈)}的序数Ⅳ却是多种多样的, 按其不同的排列方法而有序数: + 1,2, + , 等等。 但在规定Ⅳ= { 引凡( 戈)}中的自然数只有由小到大( 即上述A 序列)这一种排列方法时,通常就不再强调与K 。 之间的差别。 因之人们也就习惯于说Ⅳ= { 戈In ( 聋)}有个元素, 而不采用Ⅳ=收稿日期: 20 0 6m l17{ 引n ( 戈)}有K 。 个元素的陈述。 甚至更通俗一点, 就说Ⅳ= { 算In ( 茗)}有( 无穷多)个元素, 同时也由此而表示Ⅳ= { z In ( 艽)}是一个无穷集合。 其实用什么符号( , K 。 , )来表达Ⅳ= { x ln ( z )}有可数无穷多个元素这一内涵只是一种人为的约定。澳门新葡亰网址下载 一组简记符号: 现给出一组简记符号, 定义如下:口T6= 打“变量口无限趋近于其极限6” ,o T6= 廿“变量。 达到其极限6” ,口孓6= ∥ “变量。 永远达不到它的极限6” ,( 口T6 )^( Ⅱ T6 )= 毋“变量。 无限趋近于其极限6, 并且达到它的极限6” ,( nT6 )^( 口孓6 )= ∥ “变量。 无限趋近于其极限6, 并且永远达不到它的极限6” ,AI鼬= 群“自然数集合Ⅳ= { zl凡( 戈)}中包含有似个两两相异的自然数” 。万方数据 第6 期朱梧棱等: 关于无穷集合概念的不相容性问题的研究3 7当然, 在极限论中, 基于s书和占一Ⅳ方法的极限定义, 只考虑变量无限趋近于它的极限, 亦即只考虑口t 6, 至于变量达到或者达不到它的极限, 则不予过问, 亦即避而不谈口T6 或者。 孓6 。 但在许多具体的极限表达式中, oT6 或者。 孓6 的问题, 实际上还是客观而又隐陛地存在着的。 通过如下的实例即可看出这一点。1例l: 对于极限表达式lim 土= ( IJ( )而言, 其中zⅧ石自变量x 可以无限趋近于极限o , 但是决不允许达到极限o , 亦即应有戈T o ^咒孓o , 否则, 若设有戈tO 人戈TO , 则因数学中规定O 不能作分母, 所以戈TO11将使得函数三最后走向无意义的去, 而不是( )。互U例2: 对于极限表达式1im 似= 口lim 戈= 口・O = 0而言, 其中函数八髫)= 戈在戈= 0 处有定义, 而且茗=八z )= 0 汐戈= o , 而且T 0 八龙T 0 或算= 八戈)T o ^戈= . 厂( z)T0 并不引起任何矛盾, 从而可以使得戈T0^戈T0 成立。1例3: 对于极限表达式lim n = m ( )或lin l三= O1 ,} Ⅷn + 。 , 而言, 由于数学中明文规定, 所有自然数都是有穷序数, 即Vn ( n Ⅳ_ n < )。 因此, 只能有n t人n孓成立, 而n t^nT 必不成立。 否则将矛盾于V n ( n Ⅳ|_ n < )这一公认的结论。2可数无穷集合的不相容性现在来证明下述定理。定理( I): 任何一个可数无穷集合都是自相矛盾的非集。证明: 第一步: 先证明恰由全体自然数构成的集合: Ⅳ= { 菇In ( 戈)}( 其中n ( z)= 。 , “戈为自然数” )是一个自相矛盾的非集。 现在先将Ⅳ= { 戈I几( 戈)}中的元素按其大小顺序排成如下的自然数序列:A : { l, 2, 3, , n, }I对于A 序列, 有如下两条熟知的定理:定理A : 全体自然数都是有限序数, 即设Ⅳ= { xn ( z)}, 贝0V 凡( n n< )。定理B : 全体自然数的个数为可数无穷多, 即Ⅳ= { 戈In ( 龙)}中共有个( 参见第1节中之一点说明)互不相同的元素, 即Ⅳ= K 。 。今由定理A , 特将A 序列表示为如下的由个两两相异的不等式的可数无穷序列:Ⅳ< = { l< , 2< , 3< , , 凡< , }现给出如下的简记:眈= 抒“不等式” ( inequa lity),n ( 讯)批= 群“n 是Ⅳ中某个不等式中所含有的唯一确定的自然数” ,批七= ∥ “Ⅳ中第后个加” ,n( 讥)砒. |}= 计“n是Ⅳ中第矗个不等式所含有的唯一确定的自然数” 。现令V = 甜“所有” , ey = d , “每一” 。 根据经典二值逻辑演算对全称量词的解释约定应有V = e y , 从而应有如下结论:( V , )在任何场合ey 与V 可以相互替换。在Ⅳ中应有:ey 船y 7 }( 凡( 讥)^忧矗_ n = Jj})( ★)例如Ⅳ中第9 ( 忌)个不等式中所含有的唯一确定的自然数的数值必定是9 ( n )。 不仅如此, 还可用数学归纳法证明下述结果:V n ( n ( in )眈en )( 1)亦即对Ⅳ中的每一个不等式总保持着凡= 矗。 现由上文重要结论( V , ), 用V 取代上述( 六)中e y 的出现, 就得到:V n V 七( n ( in )Jn 如一n = 知)从而又有如下重要结论:( V : )V n V 后( n ( 流)慨J|}_ ÷n 与后的出现可以互相替换)。对于自然数集合Ⅳ= { 戈In ( 戈)}而言, 如下两个判断是互相等价的:( 1)Ⅳ中包含的自然数有个;( 2)Ⅳ中所包含的自然数的个数已经达到个。亦即应有:( a )圻I届)( ★★)今以k 表示自然数的个数无限增长并无限趋近的变量, 则由上述简记可将上述( ★★)表达为:AI矗泓后7t)八( 后 T )由上述定理B 可知: AI如成立, 从而下述命题为真:( 后 t)^( . |} T )( ★★★)现在同样因为Ⅳ中计有个两两相异的不等式,所以当用J|}来表示Ⅳ中不等式的个数不断地增多这一变量时, 则变量同样不仅可以无限地趋向, 而且必须多达个, 从而类同于上文对A 序列的讨论, 当计算Ⅳ中不等式的个数时, 亦应有真命题:( 后t)^( 七T )。既然( . |}T )^( _ j}T )为真, 则由蕴涵式线南京邮电大学学报( 自 然科学版)20 0 6 年表可有:V n V 矗( n ( in )^七_ ( 后T )八( 忌T ))又由前文重要结论( V : )可用n 取代上式中晟的出现而有:VnV n ( n ( in )^据n _ ( nt)^( nT )),此式也就是:V 凡( 凡( in), , 把几一( nT )^( nT )),由此可得:Vn( 珏( 玩)施)_ Vn ( ( nT 甜)A ( n T ))但在另一方面, 对于Ⅳ中之各个不等式中所( 2)含有的各个自然数的数值而言, 虽然凡亦可无限地趋近于, 但决不允许达到, 否则必将矛盾于上述定理A , 即矛盾于V n ( n Ⅳ_ n < )这一公认的结论。 因此, 当立足于Ⅳ中之所有不等式中所含有的自然数的数值时, 就只能有( n t)^( n )为真。 为之又有:Vn ( n ( in )^把n - + ( nt)^( n 孓)),由此可得:V n ( , l( in )^Ien )一V n ( ( nt)^( n 孓))由式( 1)和式( 2)使用分离规则就有:( 3)V 乃( ( n t)^( nT 御))从而对于任一n 而言:( n T )( 4 )同理由式( 1)和式( 3)可得:( n 孓)( 5)必须承认上述式( 4 )和式( 5)是互相矛盾的。这表明Ⅳ不相容, 也就是A 序列和Ⅳ= { 戈l凡( 菇)}是一个自相矛盾的非集。第二步, 今设G 为z F C 框架下的任何一个可数无穷集合, 则G 中一切元可用自然数去编号, 从而由已证Ⅳ= { 引n ( 戈)}为非集而直接推知G 为自相矛盾的非集。证毕。3不可数无穷集合的不相容性现在让我们在第2中所证之定理( I)的基础上, 证明下述定理。定理( Ⅱ ): 在确认近代公理集合论z F C 中之Ⅳ= { 引n ( 髫)}为非集的前提下, 近代公理集合论z F C系统中的原来意义下的各种各样的所谓不可数集合要么不存在, 要么也都是自相矛盾的非集。证明: 大家知道康托( C 粕to r)古典集合论的造集原则是概括原则, 并且无条件地使用概括原则, 最后导致悖论的出现, 在各种各样的悖论中, 最为基本或核心的一个悖论就是下述著名的罗素( R u sse ll)悖论: 即设为恰由全体非本身分子集构成的集合,但是若设为非本身分子集, 则可推出为本身分子集。 又若设为本身分子集, 则又能推出为非本身分子集, 哪种说法都说不通, 故矛盾。近代公理集合论系统立足于修改概括原则而给出避免悖论的方案, 大家知道, 在zF c的非逻辑公理中, 其核心的造集原则有: ( 1)空集公理, ( 2)无穷公理, ( 3)幂集公理。 其中( 1)和( 2)用以构造可数无穷集合, 并且是无条件地直接规定某集合的存在, 又在( 1)和( 2)的基础上再配以替换公理等其它公理给出自然数集合Ⅳ= { 石In ( 戈)}, 然后又在( 1)和( 2)的基础上通过幂集公理而造出不可数集合,再配以其它公理给出聂= { 戈Ir ( z )}, 此处r ( 算)= 甜“并为一实数” , 并由此而为微积分奠基H 。 21。在Z F C 中可以证明上文所说的为非集, 或说不是Z F C 的集合, 既然如此, 那就不能再问是本身分子集还是非本身分子集, 从而避免罗素悖论的出现, 同样可以认为, 在确认为非集的前提下,我们也就不能再在z F C 的框架下去问什么集是的子集 - 3j, 或者再问什么集是的幂集等等。 据图1可知, Z F C 中不存在本元, 并有如下重要结论:p p ( )p ( )图1示意图( 木)z F C 的任何非空集合4 彩的任何元素都必须是z F c 的集, 并且z F c 的任何非空集合A D 的任何子集或幂集都必需是zF c的集合, 并且只有在A 是z F c 的集合的前提下, 才能用幂集公理去构造的幂集P ( A )。现在分两种情况来继续我们的论述:( 1)如果我们在建造z F C 框架的起始阶段就发现了Ⅳ{ 引n ( x )}为一非集, 并由第2节中之定理( I)知任何可数集合皆为非集, 那么也就不可能再用幂集公理去构造什么可数集合的幂集了, 因为由上述重要结论( : . : )知道, 只有在确认某集是zF c的集合的前提下, 才能用zF c的幂集公理去构造该集的幂集, 因此在已知Ⅳ= { 戈ln ( 戈)}为非集的前提下, 再去构造什么P ( Ⅳ)就没有任何意义了, 就像已知为非集, 则就再没有什么P ( )可言一样, 因而在此情况下, 可万方数据 第6 期朱梧{ 贾等: 关于无穷集合概念的不相容性问题的研究3 9谓z F C 框架下的不可数集合根本不存在。( 2)然而真实的历史进程并非如此, 我们是在z F C 被久远使用之后才发现Ⅳ= { 戈l n ( 戈)}和任何可数集合均为非集的, 从而在此真实的历史进程中又要分两种情况讨论:( A )首先对于z F C 的任何一个不可数集合A而言, 可在z F C 意义下, 用狭义选择公理在A 中选出一个可数子集A 。 , 当然A 。 cA , 现知A 。 为非集, 然而由上述重要结论( 术)知, z F C 的任何非空集合的任何子集都必需是z F c 的集合, 而今不可数集合却拥有了一个自相矛盾的非集A 。 为其子集, 这是z F c所不允许的, 从而就不可能再是z F c 的集, 或者说不可数集合在z F C 框架下是一个非集。( B )今再设P ( B )在尚未发现可数集合为非集的情况下由z F C 的可数集合曰通过幂集公理构造出来的, 那么在zF c框架下, 必有曰 P ( B ), 而后来我们又证明了可数集合口为非集, 但由上述重要结论( 宰)可知, zF C 的任何集合的任何元素必为zF C的集, 而在此处既已证B 为非集, 则在原来意义下所构造的幂集P ( B )却由此而拥有了一个非集B 为其元素, 从而矛盾于重要结论( 术), 从而此时该幂集P ( B )也只能是一个自相矛盾的非集了。总之, 在确认z F C 中之Ⅳ= { 引n ( 戈)}为非集的前提下, zF C 中的原来意义下的各种各样的所谓不可数集合要么不存在, 要么也都是自相矛盾的非集。由于z F c框架下的任何实无穷集合要么是可数集合, 要么是不可数集合, 综合第2节和第3节中之定理( I)和定理( Ⅱ )可结论:( 水木)z F C 框架下的任何无穷集合都是自相矛盾的非集。4 一点注记本文第2节和第3节中所获结论也是历史的必然, 并早已为先师们所觉察, 我们在此所做的, 不过是用数学手段证明了先师们相关直觉判断的正确性。例如, 莱布尼兹( k ib n iz )指出过: “所有整数的个数这一提法自相矛盾, 应该抛弃。 ” L 4 0又例如, 自从古典集合论出现悖论以后, H a u sd o m 就曾不胜感慨和直接地提醒大家说: “这一悖理的使人不安, 倒不在于产生了矛盾, 而是我们没有预料到会有矛盾: 一切基数所组成的集, 显得是如此先验地无可置疑, 正如一切自然数所组成的集一样地自然可信, 由此就产生了如下的不确定性, 即会不会连别的无限集, 亦即一切无限集, 都是这种带有矛盾的似是而非的非集。 ” 口“-然而最为引人注目和惊奇的莫过于鲁宾逊( R o b in so n )在19 6 4 年所发表的见解: “关于数学基础, 我的立场( 见解)是基于如下的两个主要原则( 或观点):( 1)无穷集合按任何词义来说都不存在( 不论在实际上或理论上都不存在), 更精确地说, 关于无穷集合的任何陈述或大意陈述都在字面上简直是无意义的。( 2)但是我们还是应该如通常那样去从事数学活动, 就是说当我们做起来的时候, 还是应该把无穷集合当作似乎是真实存在的那样。 ” 1在这里, 我们坚信上述鲁宾逊( R o b in so n )的( 1)是一种非常深刻的直觉判断, 决不是什么不负责任的胡言乱语, 至于鲁宾逊( R o b in so n )的上述( 2), 可能是出于当时的某种无奈。参考文献:[ 1]朱梧损, 肖奚安. 集合论导引[ M ]. 南京: 南京大学出版社, 19 9 1.[ 2]朱梧棱, 肖奚安. 数学基础概论【M ]. 南京: 南京大学出版社, 1996.[ 3]朱梧横. 几何基础与数学基础[ M ], 沈阳: 辽宁教育出版社, 1987.[ 4 ]K u 烈E M . 张祖贵译. 西方文化中的数学[ M ]. 上海: 复旦大学出版社。 2005.[ 5]H a u sd o r 正M e n g e n le h r e [ M ]. w a tte ra eH r u y ler , 19 35.( 6]豪斯道夫, 张义良译. 集合[ M ]. 北京: 科学出版社, 1960.[ 7]R o binso n . f o n lla lisⅡ 耐l晒c, M eth 0010lo g ya n dP h ilo so p h yo fscjen ce[ c]//n o ced in g so ftlle 19 6 4 In tem 砒io n a l co n g r e ssB a r -H iU e l( N o n h h o u a n d a lld P a bco ), 1964.作者简介:朱梧梗( 19 35一), 男, 江苏宣兴人。 南京航空航天大学计算机科学研究所教授, 博士生导师。 ( 见本刊20 0 6 年第4期第6 4 页)肖妥安( 19 4 5一), 男, 江苏南京人。 中国人民解放军理工大学理学院教授, 博士生导师。 研究方向为数学基础、 数理逻辑与模糊数学。杜国平( 19 6 5一), 男, 江苏盱眙人。澳门新葡亰网址下载 南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所教授, 博士。 研究方向为现代逻辑、 逻辑思想史。宫宁生( 19 58 一), 男, 江苏南京人。 南京工业大学信息科学与工程学院副院长, 副教授。 主要研究方向为数理逻辑与人工智能。万方数据

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